Chi-Quadrat-Verteilung

mit n-Freiheitsgraden:

Dichte f_n(x) = x^n/2-1*exp(-x/2)/(2^n/2*Γ(n/2)) für x > 0
und f_n(x) = 0 für x<=0

Berechnung des Nenners

Der Nenner ist unabhängig von x und kann einmalig berechnet werden:
Laut Bronstein Kap. 3.1.9.4 gilt:

Funktionalgleichung :

Γ(x+1)=x*Γ(x)

Γ(1)=1

Ergänzungssatz:

Γ(x)*Γ(x-1) = π/sin(x*π)

Damit folgt für natürliche Zahlen n: Γ(n)=n!

Für x=0.5 folgt mit sin(π/2)=1 : Γ(0.5)²=π also Γ(0.5)=sqrt(π)

Zähler

Unterschiede zur GNU scientific library

Dort ist angegeben: p(x) dx = (1/(2*Gamma(nu/2))) (x/2)^(nu/2 - 1) exp(-x/2) dx

Interessant ist, dass in der 2. Klammer x/2 geschrieben wird. Zieht man jedoch die 2 heraus, so kann man die Formel in Wikipedia (und anderen Werken) gefundene schreibweise überführen.

Die GSL nutzt auch für n, dort nu genannt, einen double und rechnet mit einer komplizierten lngamma-Funktion den Nenner jedesmal neu aus.

Hier haben wir ein Funktionsobjekt, welches nur ganzzahlige Werte als Parameter n hat, der im Konstruktor übergeben wird.